Pi錢包說“三倍券”中的2000元每次消費的都會獲得p幣加碼回饋的抽獎機會
試問消費策略？消費越多次越佳或越少次越佳？
原文案
"以 Pi 拍錢包綁定【政府振興3倍券】後，2020/7/15~2020/10/31期間內每一筆符合【政府振興3倍券】活動規則累積$3,000消費期間的支付且該筆付款包含使用「P幣折抵」，則筆筆皆可享抽獎機會。折抵之 P幣部分可享隨機放大回饋機會，最高100%，還有機會抽中超過百種超值優惠，超過10萬個獎項大放送！
曼尼於 Pi 拍錢包綁定政府【振興3倍券】後……
．7/16在全家便利商店消費以 Pi 拍錢包App支付$950 (刷卡$550+ P幣折抵$400)，則該筆消費支付可獲得一次抽獎機會。
．7/20在統一時代百貨以 Pi 拍錢包App支付$2,000 (刷卡$500+ P幣折抵$1,500)，本次交易亦可享1次抽獎機會。
．7/28在清心福全消費以 Pi 拍錢包App支付$55 (刷卡$55)，本次交易並未獲得抽獎機會。至7/28為止，曼尼打開 Pi App可看到共有2次抽獎機會。
因此，曼尼於7/28在政府三倍券適用通路總共消費累積達$3,000，並於8日後獲得2,000 P幣計入他的 P幣帳戶，此時曼尼即可在隨機回饋抽獎區點擊按鈕開始抽獎；第一筆抽中「PChome折扣券」，第2筆抽中「20%回饋」，可獲得$1,500*20%=300P幣。
# 消費折抵 P幣次數=抽獎次數，折抵越多次、抽獎機會越多。 "
分析
為簡化分析難度，因此將問題化簡為：假設消費次數為spend_n次，每次消費金額都相同，且消費通路相同所以回饋比率皆相同，因此可令每次消費的「額外」回饋金額皆相同。
使用了上述的假設後，可將此消費問題轉成二項分佈的問題，意即消費了n次，每次消費皆可參加抽獎，每次的中獎機率皆為earn_prob。
二項分佈
二項分佈(wiki)描述的是每次試驗皆只有成功及失敗二種可能性的，最常舉的例子就是丟一個十元硬幣。拋擲的結果就只有人頭或是梅花。若是人頭的那面的機率是p，則梅花的機率就是(1-p)。另外也假設每次的拋執過程都相同使得每次的結果是人頭的那面的機率皆是p。在這樣的狀況下，就是符合二項分佈的情況。
假設pi錢包回饋抽獎機制只有中獎及不中獎二種結果，且每次抽獎的中獎機率皆相同，為p。這樣，在經過n次消費後，獲得的回饋金就可用二項分佈模型來分析。
機率分析
使用matlab可計算及畫出其機率分佈圖。下圖中的x軸是回饋金的金額，y軸是拿到該回饋金的機率。
l 當spend_n = 1,中獎機率為0.5，回饋金額為2000 *
4%
期望值為40元，標準差為40元(mean_v =40,
std_v = 40)
50%機率拿到0元，50%機率拿到80元
l 當spend_n = 1,中獎機率為0.8，回饋金額為2000 *
4%
期望值為64元，標準差為32元(mean_v =64,
std_v =32)
20%機率拿到0元，80%機率拿到80元
l 當spend_n = 3,中獎機率為0.5，回饋金額為2000 *
4%
期望值為40元，標準差為23元(mean_v =40,
std_v = 23.0940)
12.5%機率拿到0元，37.5%拿到26.7元，37.5%拿到53.3元，12.5%機率拿到80元
l 當spend_n = 3,中獎機率為0.8，回饋金額為2000 *
4%
期望值為64元，標準差為18.5元(mean_v =64,
std_v = 18.4752)
0.8%機率拿到0元，9.6%拿到26.7元，38.4%拿到53.3元，51.2%機率拿到80元
討論
從機率分佈圖表可看到，在中獎率固定的條件下，不管多少次的消費次數其「額外的」回饋金的期望值皆相同，而差別在於越多次的試驗，變異度(標準差)越小。此結果也符合常理，可推論為越多次的抽獎次數，沒中的機率越小，獲得的回饋金也越趨近於期望值
另外可以看到，若要追求最多的回饋金，最少次數且該次金額最大為最佳的決策。然而追求最多的回饋金的同時也導致其不中獎的機會較高，也就是結果為什麼都沒得到的風險也較高。
以上述的分析來看，較佳的消費策略見仁見智，有些人希望追求最大的報酬，有些人希望不要什麼都沒得到。希望追求最大報酬的人可能以最少的消費次數為最佳決策，而希望不要什麼都沒得到的人，可能最大化消費次數為最佳決策。
若以我來說，我覺得我很衰，所以認為不中獎的機會很高，那麼越多次消費越好就會是我的選擇。
程式碼 (matlab)
max_money = 2000*0.04; % 最大的回饋金額，消費2000元，「額外的」回饋率4%earn_prob = 0.5; % 每次的中獎率spend_n = 10; % 消費次數pdf_x = (0:spend_n) * (max_money/spend_n); %可能的回饋金額pdf_y = pdf('bino',0:spend_n,spend_n,earn_prob); %計算機率分佈mean_v = sum(pdf_y .*pdf_x) % 回饋金的期望值std_v = sqrt(sum((pdf_x - mean_v).^2 .* pdf_y)) % 回饋金的標準差stem(pdf_x, pdf_y) %畫圖title('pdf')xlabel('money')ylabel('prob')
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